luas daerah parkir 360 m2 . luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan untuk sebuah bis 24 m2 , sedangkan daerah parkir tidak boleh membuat lebih dari 3o kendaraan .

Kelas : XII (3 SMA)
Materi : Program Linear
Kata Kunci : model, matematika, fungsi, optimum

Pembahasan :
Program linear adalah suatu cara untuk memecahkan suatu persoalan tertentu dimana model matematika terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua hasil yang mungkin, satu atau lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian optimal).

Masalah program linear berhubungan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x, y) = ax + by yang dinamakan fungsi objektif terhadap suatu poligon yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel termasuk persyaratan variabel-variabel yang tidak negatif (x ≥ 0 dan y ≥ 0).

Setiap titik dalam poligon dinamakan penyelesaian yang mungkin dari masalah. Suatu titik dalam poligon dimana f mencapai nilai maksimum atau minimum dinamakan penyelesaian optimum.

Nilai optimum (nilai maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan f(x, y) = ax + by dapat ditentukan dengan menggunakan metode grafik yang meliputi metode uji titik pojok dan garis selidik.

Mari kita lihat soal tersebut.
Luas daerah parkir adalah 360 m², luas rata-rata sebuah sedan adalah 6 m², dan luas rata-rata sebuah bus adalah 24 m². Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan (bus dan sedan).
Jika tarif parkir sedan Rp2.000,00 dan tarif parkir bus Rp5.000,00 , maka pendapatan terbesar yang diperoleh adalah ...

Jawab :
Persoalan di atas kita buat model matematikanya.

Pertama, kita buat tabelnya.

Misalkan kendaraan bus = x dan kendaraan sedan = y

                                       Bus          Sedan         Total
Luas parkir (m²)             24x           6y               360
Kendaraan (buah)         x                y                 30
Tarif (rupiah)                  5,000        2,000
 
 Model matematika dari persoalan di atas adalah
24x + 6y ≤ 360
 ⇔ 4x + y ≤ 60
 x + y ≤ 30
 x ≥ 0
 y ≥ 0
 
 Fungsi optimumnya adalah f(x, y) = 5.000x + 2.000y
 
Kemudian, dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi, kita cari titik-titik potong dari garis-garis
4x + y = 60 ... (1)
 x + y = 30 ... (2)
 
 Kita eliminasi y, diperoleh
 4x + y = 60
 x + y = 30
 __________-
 ⇔ 3x = 30
 ⇔ x = 10
 
 Nilai x = 30 kita substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
 x + y = 30
⇔ y = 30 - x
⇔ y = 30 - 10
⇔ y = 20. 

Berdasarkan gambar pada lampiran, kita peroleh titik-titik yang disusbtitusikan ke fungsi optimum f(x, y) = 5.000x + 2.000y sehingga
([tex] \frac{60}{4}[/tex], 0) → f(x, y) = 5.000([tex] \frac{60}{4}[/tex]) + 2.000(0) = [tex] \frac{300.000}{4}[/tex] + 0 = 75.000

(0, 30) → f(x, y) = 5.000(0) + 2.000(30) = 0 + 60.000 = 60.000
(10, 20) → f(x, y) = 5.000(10) + 2.000(20) = 50.000 + 40.000 = 90.000

Jadi, pendapatan terbesarnya Rp90.000,00 pada titik (10, 20) dan pendapatan terkecilnya Rp60.000,00 pada titik (0, 30).


Semangat!