gunakan induksi matematika untuk membuktikan 1+8+27+64+...+n^3=1/4 n^2 (n+1)^2 dengan n elemen A

Langkah basis,
untuk [tex]n=1[/tex] berlaku:
[tex]
n^3=1^3
=1
=\frac{1}{4}(1)^2(1+1)^2
=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2
[/tex]

Langkah induksi
anggap untuk [tex]n=k\geq 1[/tex] berlaku
[tex]1^3+2^3+\ldots+k^3=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2[/tex]
perhatikan bahwa untuk [tex]n=k+1[/tex] diperoleh:
[tex]
1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3
=\frac{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3
=\frac{1}{4}k^2(k^2+2k+1)+k^3+3k^2+3k+1
=\frac{1}{4}(k^4+2k^3+k^2+4k^3+12k^2+12k+4)
=\frac{1}{4}(k^4+6k^3+13k^2+12k+4)
=\frac{1}{4}(k^2+2k+1)(k^2+4k^2+4)
=\frac{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2
=\frac{1}{4}(k+1)^2((k+1)+1)^2
[/tex]

Dari langkah basis dan induksi, disimpulkan
[tex]1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\text{ untuk semua }n\text{ bilangan asli}[/tex]